Calibration, volatilité locale et stochastique

Retour sur la couverture en delta des options, couverture avec les formules des Black-Scholes, couverture avec des vanilles.

Modèles à volatilité locale (LV) : réplications d’options, EDP d’évaluation. EDP forward pour les prix des calls/puts dans un modèle LV et applications à la calibration du modèle. Formule de Dupire et sa preuve. Extension à des surfaces de prix de calls/puts régulières et sans arbitrage d’origine quelconque. Projection markovienne d’un modèle à volatilité stochastique, lien avec le théorème de Gyongy.

Variance et volatilité implicites. Conditions de non-arbitrage statique sur la surface de volatilité implicite, quelques propriétés asymptotiques. Paramétrisations SVI et SSVI, un exemple de calibration à des données Equity.

La variance forward du log-contrat, l’indice VIX. Modèles stochastiques de variance forward (notamment les modèles de Bergomi). D’autres instruments sur les marchés de volatilité: les variance swaps. La variance forward du var swap, lien avec le log-contrat.

Une bibliographie précise sera donnée en cours.

• Le cours de J. Guyon « Méthodes de calibration avancées et produits dérivés sur le VIX » est tout à fait complémentaire au cours MAP655B « Calibration, LV et SV » et en constitue une très bonne suite : il aborde des sujets qui ne sont pas traités en MAP655B (la calibration par méthodes particulaires), introduit des outils nouveaux (la théorie du transport optimal martingale comme instrument pour la construction de modèle et de la couverture) et il va plus loin dans l’analyse du marché VIX et de sa calibration jointe avec le SPX. Les deux cours peuvent être suivis l’un après l’autre (et je vous conseille en fait de suivre les deux, si ces sujets vous intéressent), il n’y a quasiment pas de redondance.

• Même commentaire pour le cours de E. Abi Jaber « Processus fractionnaires et processus de Volterra en finance» : il aborde des sujets complémentaires à ceux du cours de calibration MAP655B, notamment les modèles affines classiques (incluant le modèle de Heston) qui sont un sujet important, et les processus de Volterra affines qui en constituent une évolution récente.