Processus de type McKean-Vlasov et EDP Paraboliques

Dans ce cours nous étudierons les liens entre les processus (diffusions) non linéaires de type McKean-Vlasov et les EDP paraboliques non-linéaires. L’objectif principal est d’introduire toutes les notions de base pour pouvoir ensuite étudier la propagation du chaos d’un système de particules en interaction vers sa limite champ-moyen identifiée comme étant un processus de McKean-Vlasov. Nous verrons comment les techniques d’analyse d’EDP et du calcul stochastique se combinent dans ce contexte.

Le cours commencera par traiter des interactions régulières et markoviennes entre particules. On présentera aussi divers modelés venant de la biologie, de la physique, de la finance ou les interactions sont singulières et même non markoviennes. Ces modèles posent des problèmes très actuels en recherche et on introduira quelques techniques récentes pour les aborder.

Pre-requis : Cours “Calcul Stochastique” du 1er semestre

Bibliographie

• [1] I. Karatzas, and S. E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, second ed., vol. 113 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991.
• [2] A-S. Sznitman, Topics in propagation of chaos, École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XIX|1989", volume 1464 of Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, 1991, 165-251.
• [3] D. Talay and M. Tomasevic, A new McKean-Vlasov stochastic interpretation of the parabolic Keller-Segel model: The one-dimensional case, Bernoulli 26 (2020), 1323-1353.
• [4] N. Fournier and B. Jourdain, Stochastic particle approximation of the Keller-Segel equation and two-dimensional generalization of Bessel processes, Ann. Appl. Probab. 27 (2017), 2807-2861.