Processus fractionnaires et processus de Volterra en finance

E. Abi Jaber

Sep 19, 2022

15h

Les études empiriques indiquent la présence de la mémoire et d’une forte dépendance intertemporelle dans divers phénomènes dans les domaines de la finance et de l’économie. Le mouvement brownien, caractérisé par des incréments indépendants, n’est pas adapté à la modélisation de tels phénomènes. Dans ce cours, nous considérerons les processus stochastiques de Volterra : une classe de processus qui étend le mouvement brownien standard pour inclure la mémoire ; le mouvement brownien fractionnaire constitue un cas particulier.

Dans la première partie du cours, nous développerons les outils mathématiques nécessaires pour traiter ces équations intégrales de Volterra (non standard) qui vont au-delà de la théorie standard du calcul stochastique des processus markoviens et des semimartingales.

Dans la deuxième partie, nous explorerons la flexibilité de modélisation de telles équations en introduisant la mémoire dans un large éventail de problèmes financiers, notamment :

  • Taux d’intérêt avec mémoire courte et longue : tarification rapide des produits de taux d’intérêt.
  • Modèles à volatilité stochastique rugueuse : évaluation et calibration rapides via des techniques d’inversion de Fourier ; solutions analytiques pour le problème d’allocation de portefeuille de Markowitz avec plusieurs actifs à volatilité rugueuse.
  • Exécution et liquidation optimales avec impact transitoire sur le marché.

Bibliographie

  • [1] Abi Jaber, E., Larsson, M., & Pulido, S. (2019). Affine Volterra processes. The Annals of Applied Probability, 29(5), 3155-3200.
  • [2] El Euch, O., & Rosenbaum, M. (2019). The characteristic function of rough Heston models. Mathematical Finance, 29(1), 3-38.
  • [3] Gatheral, J., Jaisson, T., & Rosenbaum, M. (2018). Volatility is rough. Quantitative finance, 18(6), 933-949.
  • [4] Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations (No. 34). Cambridge University Press.
  • [5] Mandelbrot, B. B., & Van Ness, J. W. (1968). Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM review, 10(4), 422-437.