Processus de Volterra et signatures de chemins en Finance

15h

Les effets de mémoire jouent un rôle crucial dans l’élaboration des phénomènes financiers, qu’il s’agisse du prix des actifs, de la dynamique des flux d’ordres, de l’optimisation des portefeuilles ou de l’évaluation des produits dérivés. De nombreux processus financiers présentent des comportements dépendant du chemin parcouru, tels que les effets de mémoire longue/courte et les relations lead-lag, qui ne peuvent pas être capturés de manière adéquate par les modèles markoviens traditionnels. La compréhension et l’intégration de ces dépendances sont essentielles pour mettre en place des stratégies de trading, faire de la gestion des risques et prendre des décisions d’investissement.

Les progrès récents de la modélisation stochastique, notamment les processus de Volterra et les signatures d’un chemin, offrent des cadres rigoureux pour modéliser la mémoire en finance quantitative. Les processus de Volterra sont (dans leurs versions les plus simples) les analogues en temps continu des moyennes mobiles pondérées et englobent le mouvement brownien fractionnaire et les processus de Hawkes, tandis que les signatures de chemin, vues comme des suites d’intégrales, se sont révélées être des outils puissants pour l’extraction de caractéristiques dans l’analyse des séries temporelles, en particulier dans les applications d’apprentissage automatique. Les signatures sont des objets centraux de la théorie des chemins rugueux. Dans le contexte de la finance mathématique, les signatures sont un outil puissant à la fois pour modéliser les phénomènes avec mémoire et pour fournir des méthodes numériques en l’absence de la propriété de Markov. Malgré leurs promesses, ces méthodes présentent encore des défis théoriques et pratiques importants.

Ce cours développera des modèles tenant compte de la mémoire et des méthodes numériques adaptées aux processus avec mémoire, y compris des modèles et des méthodes basés sur les signatures de Volterra. Les applications comprennent la modélisation de la volatilité, l’évaluation de produits dérivés, l’optimisation de portefeuille en cas de frictions du marché et la gestion de risque.