Algorithmes de Monte Carlo pour chaînes de Markov et méthodes particulaires

15h, 5MK

Le problème de transport optimal entre deux mesures de probabilité [\mu] et $\nu$ sur ${\mathbb R}^d$ a été introduit par Monge [2] en 1781 dans le cas où ces mesures représentent respectivement la distribution de la terre à déblayer et celle de la terre à remblayer : $$\inf_{T:T#\mu=\nu}\int_{{\mathbb R}^d}c(x,T(x))\mu(dx),$$ où $c:{\mathbb R}^d\times{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}$ est une fonction de coût mesurable et $T#\mu$ désigne l’image de $\mu$ par l’application de transport $T:{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}^d$ % supposée mesurable ($\forall \varphi:{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}\mbox{ mesurable bornée }\int_{{\mathbb R}^d}\varphi(y)T#\mu(dy)=\int_{{\mathbb R}^d}\varphi(T(x))\mu(dx)$) . L’existence de $T$ telle que $T#\mu=\nu$ n’étant pas garantie pour tout choix $(\mu,\nu)$ (cas où $\mu$ est une masse de Dirac mais pas $\nu$), Kantorovitch \cite{kantorovitch} a introduit durant la seconde guerre mondiale une relaxation très féconde de ce problème en considérant $$\inf_{\pi\in\Pi(\mu,\nu)}\int_{{\mathbb R}^d\times{\mathbb R}^d}c(x,y)\pi(dx,dy)$$ où $\Pi(\mu,\nu)={\pi\in{\mathcal P}({\mathbb R}^d\times{\mathbb R}^d):\pi(dx,{\mathbb R}^d)=\mu(dx)\mbox{ et }\pi({\mathbb R}^d,dy)=\nu(dy)}$ désigne l’ensembre des couplages entre $\mu$ et $\nu$. Il existe en particulier un couplage optimal $\pi_\star$ dès lors que $c$ est semi-continue inférieurement et minorée. Cette relaxation a permis le développement d’une théorie très riche avec de nombreuses applications notamment en statistique, en finance, en vision par ordinateur ou en intelligence artificielle. En finance robuste, le problème de transport optimal martingale où seuls les couplages martingales $\pi$ sont considérés dans l’infimum permet de calculer des bornes de prix robustes pour une option de payoff $c(S_{T_1},S_{T_2})$ lorsque l’on conna^it les lois risque-neutre $\mu$ et $\nu$ des prix $S_{T_1}$ et $S_{T_2}$ des actifs sous-jacents aux instants $T_1$ et $T_2$ au travers des prix de marché d’options vanille. L’existence d’un couplage martingale est équivalent à la domination de $\mu$ par $\nu$ pour l’ordre convexe d’après le théorème de Strassen. % : $$\inf_{\pi\in\Pi_M(\mu,\nu)}\int_{{\mathbb R}^d\times{\mathbb R}^d}c(x,y)\pi(dx,dy)\mbox{ où }\Pi_M(\mu,\nu)={\mu(dx)\pi_x(dy)\in\Pi(\mu,\nu):\int_{{\mathbb R}^d}y\pi_x(dy)=x,;\mu(dx) p.p.}.$$

Dans ce cours, nous étudierons

• la formulation duale du problème de transport optimal et la caractérisation de l’optimalité au travers de la monotonie cyclique,
• la distance de Wasserstein sur l’ensemble des probabilités avec un moment d’ordre $\rho\ge 1$ fini obtenue pour le coût $c(x,y)=|y-x|^\rho$, en portant une attention particulière au cas quadratique $\rho=2$ (theorème de Brenier) et à la dimension $d=1$,
• la formulation duale du problème de transport optimal martingale et la caractérisation de l’optimalité au travers de la monotonie cyclique martingale ainsi que la stabilité de ce problème par rapport aux lois marginales $\mu$ et $\nu$,
• l’algorithme du Sinkhorn qui assure une convergence géométrique vers la solution du problème de transport optimal avec régularisation entropique.

Bibliographie

• [1] Kantorovitch, L. On the transfer of masses, Dokl. Acad. Nauk. USSR, 37, 7-8,

• [2] Monge, G., Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, Imprimerie royale, 1781.
• [3] Rachev, S. T. et Rüschendorf, L., Mass transportation problems. I et II, Springer-Verlag, New York, 1998.
• [4] Santambrogio, F., Optimal transport for applied mathematicians, Birkhäu- ser/Springer, Cham, 2015.
• [5] Villani, C., Optimal transport, Springer-Verlag, Berlin, 2009.