Convexité, optimisation et contrôle stochastique

I. Karroubi

Dernière mise à jour le Sep 18, 2023

L’objectif du cours est d’introduire les outils essentiels de l’analyse convexe, ainsi que l’optimisation en dimension finie et du contrôle stochastique des processus de diffusion.

Le cours se divise en deux parties. La première partie concerne l’analyse convexe et l’optimisation en dimension finie. La seconde introduit la théorie du contrôle optimal des processus de diffusion.

Dans la première partie, nous rappelons les résultats élémentaires sur les ensembles et fonctions convexes. Nous présentons ensuite des propriétés topologiques des ensembles convexes et des théorèmes de séparation utilisés notamment en théorie de l’évaluation par arbitrage. Nous nous intéressons ensuite aux propriétés de régularité des fonctions convexes. Lorsque les fonctions convexes sont différentiables, nous en étudions l’optimisation. Enfin, nous terminons cette première partie par des résultats de dualité des fonctions convexes.

Dans la seconde partie, nous commençons par rappeler des résultats sur les processus de diffusions et utiles à notre étude : existence et unicité de solutions aux équations différentielles stochastiques, propriété de Markov et régularité du flot par rapport à la condition initiale. Nous présentons ensuite le problème de contrôle optimal de diffusion, ainsi que l’outil central de notre étude : le principe de programmation dynamique. Nous introduisons également sa version infinitésimale : l’équation de programmation dynamique. Nous concentrons ensuite notre étude sur le cas de solutions régulières à l’équation de programmation dynamique avec l’approche par vérification. Nous présentons comme applications des exemples issus de la théorie financière. Nous étudions ensuite le cas de fonctions valeurs irrégulières avec l’introduction de la théorie des solutions de viscosité. Nous montrons les propriétés de viscosité pour la fonction valeur d’un problème de contrôle ainsi qu’un résultat d’unicité par comparaison. Enfin nous terminons cette partie par la présentation d’une approche alternative à la programmation dynamique : le principe du maximum. Cette approche donnant condition nécessaire d’optimalité dans le cas général et une condition suffisante dans le cas convexe.

Références

  1. L. D. Berkovitz (2001) Convexity and Optimization in R^n. Wiley-Interscience.

  2. J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001) Fundamentals of Convex Analysis, Grundlehren Text Editions, Springer.

  3. B. Oksendal (2003) Stochastic Differential Equations, An Introduction with Applications. Universitext, Springer

  4. H. Pham (2010) Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications, Stochastic Modelling and Applied Probability, Springer.

  5. R. T. Rockafellar (1996) Convex Analysis. Princeton University Press.

  6. N. Touzi (2016) Optimal Stochastic Control, Stochastic Target Problems, and Backward SDE. Fields Institute Monographs.