EDP pour la finance

L’évaluation de la prime d’un produit dérivé sur un sous-jacent se pose aux praticiens dans un premier temps comme un calcul d’espérance de fonctionnelle du dit sous-jacent (la plupart du temps une action). Il y a donc lieu de distinguer au prime abord d’une part du choix du modèle du sous-jacent (volatilité constante, locale, stochastique ou autre), et d’autre part du choix de la fonctionnelle. Le premier est un effort de modélisation, laissé à la discrétion du trader, le second est dicté par le contrat, c’est-à-dire par la définition du produit dérivé en question (option d’achat, de vente, avec exercice anticipé ou non).

Dans la plupart des cas, cette interprétation probabiliste a un pendant déterministe par le biais de la résolution d’une certaine EDP (représentation de Feynman-Kac) dictée par le choix du modèle. Ceete double interprétation peut être fructueuse tant sur le plan théorique que numérique. Le but de ce cours est d’étudier les liens profonds qui existent entre ces deux interprétations d’un point de vue numérique. Il tâchera de mettre l’accent sur la résolution numérique d’EDP en tentant dans la mesure du possible de faire des comparaisons avec l’approche probabiliste.

Cela passe d’abord par l’étude succinte de processus stochastiques parmi les plus simple (mouvement brownien) à l’origine d’un calcul différentiel d’un type nouveau (calcul d’Itô). Nous étudierons ensuite ensuite les connections entre EDP de la chaleur et le mouvement brownien. Dans un deuxième temps, nous aborderons le cas général de princing d’options par EDP dans les modèles les plus simples avec les options les plus liquides (européenne et américaines). Enfin, nous tâcherons de généraliser ces calculs dans le cas d’options plus exotiques.

I. Introduction au mouvement brownien standard.

1. Définition

2. Approximation numérique (marche aléatoire, Fourier, …) et simulation.

3. Intégrale stochastique à intégrand déterministe : l’intégrale de Wiener. Isométrie d’Itô.

4. Généralisation à un intégrand stochastique : les équations différentielles stochastiques. Martingales et embryon de calcul stochastique.

II. EDP de la Chaleur et marche aléatoire.

1. Représentation probabiliste de la solution d’une équation de la chaleur. Approximation numérique par Monte Carlo.

2. Méthode des différences finies et marches aléatoires. Étude de convergence de la méthode. Comparaison avec la méthode probabiliste.

III. Options européennes et EDP de Black-Scholes - Méthode de différences finies générale.

1. Pricing d’options européenne dans un modèle de volatilité locale. Dérivations de l’EDP de BS.

2. Représentation probabiliste de la solution.

3. Cas de la volatilité constante : approximation par arbre binomial.

4. Cas général par la méthode des différences finies.

5. Application aux calcul des grecques.

IV. Options à exercice anticipées (options américaines).

1. Inéquations variationnelles. Un premier “toy-model”.

2. Inéquations variationnelles dans le cadre BS.

3. Résolution numérique par la méthodes des éléments finis.

4. Comparaison avec l’arbre binomial/DF dans le cas de la volatilité constante.

5. Comparaison avec le Monte Carlo américain.

V. Options trajectoires dépendantes.

1. Options asiatiques, lookback.

2. Méthodes numériques d’EDP adaptées.

Références :

• Computational Methods for Options Pricing, Y. Achdou et O. Pironneau.
• Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, D. Lamberton et B. Lapeyre.
• Options, futures and other derivatives, John C. Hull.
• Option pricing: mathematical models and computation, P. Wilmott, J. Dewynne et S. Howison.
• Finance de marché, R. Portait et P. Poncet.