Options américaines II : théorie et méthodes numériques

V. Lemaire

Ce cours a lieu de janvier à février, 3 heures par semaine.

Options américaines et théorie de l’arrêt optimal

  • Arrêt optimal en temps continu (cas régulier) : rappels sur les supremum essentiels, les surmartingales et martingales en temps continu (régularisation, décomposition de Doob-Meyer …). Enveloppe de Snell, caractérisation des temps d’arrêt optimaux, plus petit et plus grand temps d’arrêt optimal, formulation duale de l’enveloppe de Snell.
  • Valorisation d’options américaines en marché complet (marché brownien avec actifs multidimensionnels sous forme de processus d’Itô) : , lien avec l’arrêt optimal en temps continu, portefeuille de réplication, stratégie de couverture.
  • Formulations duales (Rogers 2002; Haugh-Kogan 2002; Jamshidian 2005).
  • Etude analytique du prix de l’option américaine dans le cadre du modèle de Black-Scholes: propriété de continuité, de monotonie, de convexité, inéquations variationnelles, frontière libre, formule semi-fermée, smooth-fit.
  • Etude d’exemples.

Méthodes numérique (éléments)

Description et analyse succincte de quelques méthodes numériques de valorisation et de couverture pour les options américaiens via des approximations bermudéennes.

  • Itération sur les fonctions valeurs: régression non paramétrique (Carrière 1996), maillage aléatoire (Broadie-Glasserman 1997), quantification optimale (Bally-Pagès 2001), calcul de Malliavin (Lions-Régnier 2001).
  • Itération sur les temps d’arrêt: approximation de la valeur de continuation par projection $L^2$ (Longstaff-Schwartz 2001).
  • Calcul des couvertures: méthode de flot (Piterbarg 2002), méthodes de projection/régression.
Avatar
Sorbonne Université Sciences et École Polytechnique
en collaboration avec l’E.S.S.E.C.