Processus stochastiques et produits dérivés

N. El Karoui

Ce cours a lieu de novembre à mars, 3 heures de cours par semaine.

Le marché de produits dérivés est un élément important du transfert des risques de marché des investisseurs vers les établissements financiers. L’objectif du cours est de décrire les produits financiers proposés, et les méthodes théoriques et pratiques mises en oeuvre dans le marché pour évaluer et couvrir ces produits financiers. Le cours comprend plusieurs parties : Une première partie sur les dérivés sur actions, européens ou exotiques avec une large référence au modèle de Black Schöles, et ses nombreuses applications dans un monde sans arbitrage, dominé par la vision “implicite” du marché. Une partie sur les taux d’intérêt et leur récents développements. Une partie sur la mesure des risques de marchés, via la VaR, et ses extensions.

Le cours sur les taux d’intérêt sera complété par une série de cinq séances faites par les responsables de la recherche de CAI (J. Lebuchoux) et Goldman Sachs (S. Wisnia).

I - Evaluation et couverture des produits dérivés sur action.

  • Présentation des marchés à terme et des marchés d’options
  • Le modèle de Black et Scholes : évaluation et couverture des options d’achat ou de vente par réplication dynamique . L’EDP d’évaluation. La formule de Black et Schöles.
  • Le portefeuille de couverture. Les Grecques. La volatilité implicite.
  • Robustesse de la formule de Black et Scholes.
  • Options barrières dans le monde de Black et Scholes. Formules fermées, couverture. Autres options exotiques.
  • L’absence d’arbitrage et la réplication statique. La formule de Carr et la distribution implicite.
  • Premières réflexions sur la calibration. Distribution risque-neutre implicite.
  • Volatilité stochatique :
    • Formule de Dupire et volatilité locale. Introduction aux problèmes de calibration
    • Les modèles à volatilité stochastique exogène. (Marché incomplet)
  • Théorie de l’arbitrage multi-dimensionnel :
    • Absence d’arbitrage et primes de risques
    • Changement de numéraire ; numéraire de marché.

II - Problèmes de taux d’intérêt.

  • Introduction au marché des taux d’intérêt et des produits dérivés de taux.
  • Définition et construction de la courbe des taux :
    • Les modèles classiques, Vasicek, C.I.R, Longstaff et Schwarz, modèles affines.
    • Les modèles multifacteurs. Modèles de HJM : Equations de structure des taux d’intérêt issues de l’arbitrage.
  • Le modèle de BGM ou modèle de marché. Approximations
  • Options de taux et instruments hybrides : évaluation et couverture.
  • Swaps,Obligations à taux variable.
  • Caps, floors, swaptions, boosts.
  • Matrices de volatilité et Problèmes de calibration.

III - Mesures des risques.

  • Présentation des normes réglementaires
  • La Value at Risks d’un portefeuille. Problèmes pratiques et méthodologiques
  • Le concept de mesures de risques.
  • Application au pricing en marché incomplet.

Références

  • J. Cox et M. Rubinstein : Options Market. (1985).
  • R.A. Dana et M. Jeanblanc-Piqué : Marchés financiers en temps continu. Nouvelle éd .Economica (1999).
  • G. Demange et J.C. Rochet : Méthodes mathématiques de la Finance. Economica (1992).
  • R. Dixit et Pindyck : Investment under uncertainty. Princeton (1994).
  • D. Duffie : Dynamic Asset Pricing. Princeton (1993).
  • I. Karatzas and Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer (1987).
  • D. Lamberton - B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqué à la Finance. Ellipse (1991) .
  • M. Musiela - M. Rutkowski : (1998) Martingales Methods in Financial Modelling. Springer.
  • P. Wilmott : Derivatives. The theory and Pratice of financial Engineering. (Wiley).
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Sorbonne Université Sciences et École Polytechnique
en collaboration avec l’E.S.S.E.C.