Probabilités numériques : simulation de Monte Carlo et optimisation stochastique

Ce cours a lieu d’octobre à janvier. (2 heures de cours par semaine + 8 séances de 3h d’illustrations numériques en C++11).

Un polycopié complet est disponible sur la page personnelle de G. Pagès.

Objectifs du cours

Le but de ce cours est de présenter les méthodes de Monte-Carlo et de Quasi-Monte-Carlo d’usage courant en finance. De nombreux exemples issus de problèmes de calcul de prix et de couverture d’options illustrent les développements. Une mise en œuvre informatique des techniques abordés sera effectuée lors des séances de TD. Chaque étudiant devra réaliser, en binôme, un projet informatique (en langage C) implémentant soit des calculs de prix et de couvertures d’options soit des simulations de modèles financiers. Il remettra un rapport décrivant les méthodes utilisées et commentant les résultats obtenus. Ce cours aborde les thèmes suivants:

• Introduction à la simulation : génération de variables aléatoires suivant les lois usuelles. Simulation de processus gaussiens (Brownien, Brownien fractionnaire). Simulation de processus de Poisson standard.
• Méthode de Monte-Carlo : calcul d’espérance par simulation. Intervalle de confiance. Application au pricing d’options européennes.
• Méthodes de réduction de variance : variables de contrôle, échantillonnage préférentiel, variables antithétiques (co-monotonie), stratification, pré-conditionnement.
• Quasi-Monte-Carlo : théorie et pratique. Inégalité de Koksma-Hlawka, Suite de Halton, Sobol, Niederreiter.
• Méthodes de gradient stochastique.
• Discrétisation en temps des équations différentielles stochastiques (schéma d’Euler, de Milstein) : application au pricing d’options européennes.
• Amélioration de la méthode dans le cas d’options path-dependent : ponts browniens,…
• Calcul des couvertures et sensibilités par méthode de Monte-Carlo : processus tangent, log-vraisemblance par schéma d’Euler. - - - - Formules de Bismuth, Haussmann-Clark-Occone, paradigme de Monte Carlo, Malliavin.
• Introduction aux méthodes multilevel, avec et sans poids..

En parallèle de ce cours, 4 séances de 2 heures seront consacrées à la mise en oeuvre de ces algorithmes en Python. Une attention particulière sera apporté à l’efficacité des codes pour la simulation aléatoire en Python. L’interfaçage avec le C++ sera aussi abordée.

L’évaluation du cours se fait par un examen et le rendu d’un projet informatique (au second semestre): chaque étudiant devra réaliser, en binôme, un projet informatique implémentant soit des calculs de prix et de couvertures d’options soit des simulations de modèles financiers. Il remettra un rapport décrivant les méthodes utilisées et commentant les résultats obtenus.

Références

• D. Dacunha-Castelle, M. Duflo : Probabilités et Statistiques II. Masson, Paris, 1983.
• P. Glasserman (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer-Verlag, New York, 596p.
• D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman and Hall, 1996.
• B. Lapeyre, E. Pardoux : Méthodes de Monte Carlo pour les équations de transport et les diffusions. Springer-Verlag.
• H. Niederreiter : Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods. CBMS-NSF Regional Conference Series in Appl. Math. SIAM, 1992.
• B.D. Ripley. Stochastic Simulation. Wiley, 1987.
• L.C.G. Rogers et D. Talay, editors : Numerical Methods in Finance. Publications of the Newton Institute. Cambridge University Press, 1997.
• C. Graham, D. Talay, Stochastic simulation and Monte Carlo mehods, SMAP series, 68, Springer, 2013.
• W.H. Press and al. : Numerical recepies.