Large Optimisation et contrôle stochastique
Nizar TOUZI, CMAP, Ecole Polytechnique

L'objectif du cours est d'introduire les outils essentiels de l'optimisation et du contrôle stochastique des diffusions. Les résultats théoriques sont accompagnés d'applications au problème de gestion de portefeuille, de distribution optimale de dividendes, et de couverture de produits dérivés en présence d'imperfections de marché.

Nous commençons par une revue de l'optimisation convexe et du contrôle optimal déterministe. Nous développons l'approche de la programmation dynamique ainsi que le principe du maximum de Pontryagin.

Nous rentrons ensuite dans le vif du sujet en introduisant les problèmes de contrôle stochastique standard que nous analysons par l'approche de la programmation dynamique et l'équation de la programmation dynamique correspondante. L'argument de vérification permet de résoudre le problème le plus simple de gestion de portefeuille. Nous présentons un traitement similaire des problèmes d'arrêt optimal et des EDP à obstacle correspondantes.

Nous présentons ensuite les notions de bases des solutions de viscosité des EDP elliptiques dégénérées du second ordre qui permettent une analyse plus fine des problèmes de contrôle stochastique.

Enfin, nous introduisons la classe des problèmes de cible stochastique qui font appel à un principe de la programmation dit géométrique. L'utilisation des solutions de viscosité pour ces problèmes est cruciale. Nous présentons des applications aux problèmes de couverture de produits dérivés sous contraintes de portefeuille et de gamma, et au problème de couverture en quantile.

- W. Fleming et M. Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions, Second Edition. Springer (2006).

- N. Touzi, Optimization, Stochastic Control, and Applications to Finance. Polycopié.

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$LastChangedDate: 2006-06-20 14:53:59 +0200 (Mar, 20 jui 2006) $